En palabras de un apasionado de la criptografía, Edgar Allan Poe, "es dudoso que el género humano logre crear un enigma que el mismo ingenio humano no resuelva".

Conceptos
Desde que el hombre ha necesitado comunicarse con los demás ha tenido la necesidad de que algunos de sus mensajes solo fueran conocidos por las personas a quien estaban destinados. La necesidad de poder enviar mensajes de forma que sólo fueran entendidos por los destinatarios hizo que se crearan sistemas de cifrado (criptografía), de forma que un mensaje después de un proceso de transformación, lo que llamamos cifrado, solo pudiera ser leído siguiendo un proceso de descifrado.

La Criptografía fue considerada un arte, hasta que Shannon publicó en 1.949 la "Teoría de las comunicaciones secretas". Entonces empezó a ser considerada una ciencia aplicada, debido a su relación con otras ciencias, como la estadística, la teoría de números, la teoría de la información y la teoría de la complejidad computacional.

Ahora bien, la criptografía corresponde sólo a una parte de la comunicación secreta. Si se requiere secreto para la comunicación, es porque existe desconfianza o peligro de que el mensaje transmitido sea interceptado por un enemigo. Este enemigo, si existe, utilizará los medios a su alcance para descifrar esos mensajes secretos mediante un conjunto de técnicas y métodos que constituyen una ciencia conocida como criptoanálisis. Al conjunto de ambas ciencias, Criptografía y Criptoanálisis se denomina Criptología.

Resumen Histórico
Del Antiguo Egipto a la era digital, los mensajes cifrados han jugado un papel destacado en la Historia. Arma de militares, diplomáticos y espías, son la mejor defensa de las comunicaciones y datos que viajan por Internet. Esclavos con textos grabados en su cuero cabelludo, alfabetos de extraños símbolos, escritos de tinta simpática, secuencias interminables de números... Desde la Antigüedad, el hombre ha hecho gala de su ingenio para garantizar la confidencialidad de sus comunicaciones. La criptografía (del griego kryptos, "escondido", y graphein, "escribir"), el arte de enmascarar los mensajes con signos convencionales, que sólo cobran sentido a la luz de una clave secreta, nació con la escritura. Su rastro se encuentra ya en las tablas cuneiformes, y los papiros demuestran que los primeros egipcios, hebreos, babilonios y asirios conocieron y aplicaron sus inescrutables técnicas, que alcanzan hoy su máxima expresión gracias al desarrollo de los sistemas informáticos y de las redes mundiales de comunicación.

Los espartanos utilizaron, en el 400 a.C., la Scitala, que puede considerarse el primer sistema de criptografía por transposición, es decir, que se caracteriza por enmascarar el significado real de un texto alterando el orden de los signos que lo conforman. Los militares de la ciudad griega escribían sus mensajes sobre una tela que envolvía una vara. El mensaje sólo podía leerse cuando se enrollaba sobre un bastón del mismo grosor, que poseía el destinatario lícito.

La Scitala Spartana

En Roma, Julio César utilizó el sistema que a cada letra del mensaje cifrado correspondía una letra tres puestos más avanzada.

En 1.466, León Battista Alberti, músico, pintor, escritor y arquitecto, concibió el sistema polialfabético que emplea varios abecedarios, saltando de uno a otro cada tres o cuatro palabras. El emisor y el destinatario han de ponerse de acuerdo para fijar la posición relativa de dos círculos concéntricos, que determinará la correspondencia de los signos.

Un siglo después, Giovan Battista Belaso de Brescia instituyó una nueva técnica. La clave, formada por una palabra o una frase, debe transcribirse letra a letra sobre el texto original. Cada letra del texto se cambia por la correspondiente en el alfabeto que comienza en la letra clave.

Pero los métodos clásicos distan mucho de ser infalibles. En algunos casos, basta hacer un simple cálculo para desentrañar los mensajes ocultos. Si se confronta la frecuencia habitual de las letras en el lenguaje común con la de los signos del criptograma, puede resultar relativamente sencillo descifrarlo. Factores como la longitud del texto, el uso de más de una clave o la extensión de esta juegan un papel muy importante, así como la intuición, un arma esencial para todo criptoanalista.

El siglo XX ha revolucionado la criptografía. Retomando el concepto de las ruedas concéntricas de Alberti, a principios de la centuria se diseñaron teletipos equipados con una secuencia de rotores móviles. Estos giraban con cada tecla que se pulsaba. De esta forma, en lugar de la letra elegida, aparecía un signo escogido por la máquina según diferentes reglas en un código polialfabético complejo. Estos aparatos, se llamaron traductores mecánicos. Una de sus predecesoras fue la Rueda de Jefferson, el aparato mecánico criptográfico más antiguo que se conserva.

La Segunda Guerra Mundial

El alemán Arthur Scherbius fue el inventor de Enigma, una máquina criptográfica que los nazis creyeron inviolable, sin saber que a partir de 1.942, propiciaría su derrota. En efecto, en el desenlace de la contienda, hubo un factor decisivo y apenas conocido: los aliados eran capaces de descifrar todos los mensajes secretos alemanes.

Máquina enigma

Una organización secreta, en la que participó Alan Turing, uno de los padres de la informática y de la inteligencia artificial, había logrado desenmascarar las claves de Enigma, desarrollando más de una docena de artilugios, que llamaron bombas, y que desvelaban los mensajes cifrados. La máquina alemana se convertía así en el Talón de Aquiles del régimen nazi, un topo en el que confiaban y que en definitiva, trabajaba para el enemigo.

Los códigos de la versión japonesa de Enigma (llamados Purple, violeta) se descifraron en el atolón de Midway. Un grupo de analistas, dirigidos por el comandante Joseph J. Rochefort, descubrió que los nipones señalaban con las siglas AF su objetivo. Para comprobarlo, Rochefort les hizo llegar este mensaje: "En Midway se han quedado sin instalaciones de desalinización". Inmediatamente, los japoneses la retransmitieron en código: "No hay agua potable en AF". De esta forma, el almirante Nimitz consiguió una clamorosa victoria, hundiendo en Midway cuatro portaviones japoneses.

Mientras los nazis diseñaron Enigma para actuar en el campo de batalla, los estadounidenses utilizaron un modelo llamado Sigaba y apodado por los alemanes como "La gran máquina". Este modelo, funcionó en estaciones fijas y fue el único artefacto criptográfico que conservó intactos todos sus secretos durante la guerra.

La existencia de Enigma y el hecho de que los aliados conociesen sus secretos fueron, durante mucho tiempo, dos de los secretos mejor guardados de la II Guerra Mundial. ¿La razón? Querían seguir sacándole partido tras la guerra potenciando su uso en diversos países, que, al instalarla, hacían transparentes sus secretos.

Con la expansión de la red se ha acelerado el desarrollo de las técnicas de ocultación, ya que, al mismo ritmo que crece la libertad de comunicarse, se multiplican los riesgos para la privacidad. La Agencia de Protección de Datos, máximo órgano español para velar por la intimidad personal frente al abuso de las nuevas tecnologías, ha advertido de que, a no ser que se utilice un mecanismo de cifrado, debe asumirse que el correo electrónico no es seguro. Métodos como el asimétrico de clave pública defienden la confidencialidad del correo electrónico, fácilmente violable sin ellos, o la necesaria seguridad de las compras por Internet. Sin embargo, la duda persiste. ¿Son capaces las complejas claves actuales de garantizar el secreto? Muchas de las técnicas que se han considerado infalibles a lo largo de la Historia han mostrado sus puntos débiles ante la habilidad de los criptoanalistas, desde los misterios de Enigma, que cayeron en poder del enemigo, hasta el DES, desechado por el propio Gobierno estadounidense por poco fiable. Pero a pesar de los muchos rumores que hablan de la poca seguridad que garantizan las transmisiones vía Internet, es muy improbable que un estafador pueda interceptar los datos reservados de una transacción, por ejemplo, el número de una tarjeta de crédito, porque los formularios que hay que rellenar han sido diseñados con programas que cifran los datos. Los hay tan simples como el Ro13, que sustituye cada letra por la situada 13 puestos más adelante, o extremadamente complicados.

La actualidad: Los Números Primos
En la actualidad se utiliza un sistema de criptografía de clave pública conocido como RSA, iniciales de sus inventores: Rivest, Shamir y Adleman. Este sistema, creado en 1.977, se apoya en la exponenciación modular y en que esta es, bajo ciertas condiciones, una función unidireccional.

En RSA cada usuario está en posesión de un par de claves, una que mantiene en secreto y otra que es pública y conveniente que él difunda entre el resto de usuarios.

La clave pública y la privada están compuestas por un exponente y un módulo que es producto de dos números primos grandes. La seguridad del sistema se basa en que si los primos se escogen lo suficientemente grandes, el proceso de factorización del producto es inabordable en un tiempo razonable. Gracias a ello, la difusión de la componente pública no pone en peligro la privada.

Por ejemplo: hacemos público el número 15, una de las dos claves. 15 es el producto de 5 y 3 (dos números primos, que son la clave privada). Si estos primos que actúan de clave privada son números muy grandes, el tiempo que tardaríamos en factorizarlos con los computadores actuales sería equivalente a la edad del Universo.

Sistema RSA: números primos

El Futuro: Criptografía Cuántica
Sin embargo, cada vez que alguien escucha la conversación secreta de otra persona, la altera necesariamente un poco al hacer una observación. Dado que parte de la información del mensaje original ha sido alterada, la alteración puede ser detectada.

En un nivel, esto significa que observar un objeto cambia su estado. Por ejemplo, una forma de saber si un teléfono está pinchado consiste en verificar el voltaje de la línea telefónica. Un teléfono pinchado suele presentar una reducción del voltaje porque su energía está siendo desviada por un micrófono oculto.

En los próximos 20 años se podría alcanzar un tipo de Criptografía absolutamente fiable, proveniente de la teoría cuántica. Una nueva área de la teoría cuántica, llamada criptografía cuántica, promete revolucionar en el año 2020 todo el concepto de secreto de la información.

La teoría cuántica profundiza mucho más. La teoría cuántica dice que, al margen de la sensibilidad del mecanismo de escucha, siempre habrá alguna alteración en la señal original.

La criptografía cuántica utiliza el hecho de que la luz puede polarizarse. Es decir, la luz es una onda que vibra en una dirección concreta (perpendicular a su dirección de movimiento). Por ejemplo, si un rayo de luz se mueve hacia nosotros, sus vibraciones pueden estar en dirección vertical u horizontal. Este hecho tiene un uso práctico en las gafas de sol polarizadas, que reducen el deslumbramiento al bloquear toda la luz que vibra en la dirección incorrecta. Los físicos cuánticos utilizan este hecho para enviar mensajes a lo largo de un rayo de luz polarizada alternando la dirección de la polarización. Dado que diferentes impulsos de luz pueden tener diferentes polarizaciones, podemos enviar un mensaje digital a lo largo del rayo de luz.

Según la mecánica cuántica, si un espía tuviera que interceptar el mensaje y hacer una observación del rayo, esto alteraría el rayo y le obligaría a adoptar un estado polarizado incorrecto. La persona situada en el extremo receptor sabría inmediatamente que alguien está escuchando a hurtadillas el mensaje.

A diferencia de los ordenadores cuánticos, que pueden aparecer en un futuro del que nos separan muchas décadas, se han desarrollado ya prototipos de criptografía cuántica. El primer prototipo fue presentado en 1.989.

"En unos años, la criptografía cuántica ha llegado al punto en que es realmente una cuestión de ingeniería -afirma James D. Franson, de la Universidad Johns Hopkins, que ha realizado con éxito sus propios experimentos en criptografía cuántica-. Hemos demostrado ya la capacidad para transmitir de este modo mensajes seguros entre dos edificios y a distancias de unos 150 metros."

En 1.996 se alcanzó un hito cuando los científicos enviaron un mensaje secreto a lo largo de una fibra óptica de 22,7 km de longitud. El mensaje fue transportado por luz infrarrojo, enviado de Nyon a Ginebra, en Suiza, demostrando de este modo que un principio abstracto de la teoría cuántica podía tener aplicaciones prácticas en el mundo real.

Dada la explosión que experimenta la potencia informática, sólo es cuestión de tiempo el que los ordenadores puedan descifrar la mayoría de los códigos de codificación. Por ello, los mensajes más importantes del futuro incorporarán necesariamente alguna forma de criptografía cuántica. A comienzos del siglo próximo, es probable que veamos cómo las grandes empresas e instituciones comienzan a usar la criptografía cuántica para sus datos confidenciales. Por eso, aunque en las próximas décadas se debatirá enérgicamente el problema de la intimidad informática, hay en principio una solución definitiva para esta cuestión.

Concepto

Aunque no es fácil dar una definición de lo que es un fractal, nos aproximaremos diciendo que es un objeto con una determinada geometría, cuya iteracción o repetición acaba dando lugar a una estructura final de una complicación aparentemente extraordinaria. Es decir, que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo.

El término fue propuesto por el matemático francés Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus (romper) y fracture (fractura).

Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.

Proceso de descomposición de una imagen fractal

El porqué de la Geometría fractal

En la naturaleza se encuentran formas geométricas que no son fáciles de describir por la geometría tradicional o euclídea, como pueden ser las montañas, las nubes, las líneas costeras, las hojas y los árboles, los vegetales en general o los copos de nieve.

Pues bien, la geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza, con lo que nos da la posiblidad de construcción y dominios de estructuras muy complejas a través de procesos muy simples, dichas construcciones de estructuras fractales sirven para modelizar y explorar ciertos fenómenos de la naturaleza.

Diferencias entre la Geometría Euclídea y la Fractal

Aplicaciones
Aunque con los fractales no podemos predecir con exactitud determinados comportamientos, sí que podemos hacerlo de forma aproximada. De tal forma que podemos acercarnos en la predicción del comportamiento de un sistema, como por ejemplo el crecimiento demográfico de una especie, la fluctuación de la bolsa, o la formación de algunos órganos animales y vegetales.

Y esto es así porque lo que nos muestran son comportamientos caóticos que no se pueden predecir con certeza, aunque gracias a ellos se han podido crear fórmulas que muestran de una forma bastante fiel determinados comportamientos físicos, de la propia naturaleza o incluso sociales. Estos comportamientos que nos muestran nos lleva a hablar también de la conocida como teoría del caos.

Teoría del Caos
En wikipedia encontramos una definición a la Teoría del Caos como aquella rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles. Es decir, trataría aquellos sistemas complejos en los que un pequeño cambio inicial puede generar una enorme diferencia en el resultado final.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
• Estables
• Inestables
• Caóticos

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran independencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Ejemplos de Fractales
En la Naturaleza
Las nubes tienen forma y estructura fractal

Las grietas de este terreno desecado también tienen una estructura fractal

Coliflor con estructura fractal

La hoja de este helecho fue creada a partir de un fractal

Los capilares presentes en el corazón también se asemejan a formas fractales

Fractales en el Arte

También los artistas modernos trabajan en sus obras con fractales, utilizando programas informáticos con los que obtienen imágenes fractales para componer verdaderas obras de arte con ellas.


Este es un trabajo de Linda Allison, mediante el que reproduce partes de la Alhambra con fractales.

La obra de Escher presenta numerosos rasgos fractales a pesar de que se desconoce si investigó y se documentó sobre el tema.

Este es un fractal escheriano. M.C. Escher lo descubrió sin necesidad de fórmulas matemáticas, tan sólo con su imaginación.


Otras aplicaciones:
Comprimir imágenes:
Otra aplicación, por ejemplo, sería para comprimir imágenes a través de un algoritmo.

Música:
También en obras clásicas de genios de la música como Beethoven, Bach o Mozart, se ha descubierto que están integrados los fractales.

El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.

Conclusión
Aunque vivimos en una época de esplendor científico, los fractales nos demuestran que aún queda mucho por saber. El caos no sólo está presente en la naturaleza, sino que está intrínsecamente relacionado con nuestra realidad.

Con los fractales obtenemos un marco teórico en el desarrollo de fenómenos naturales, lo que implica un asombroso ejemplo de cómo se puede tratar de controlar lo incontrolable, amén de toda la belleza que se puede construir a partir de ellos.

Conjetura de Goldbach
Todo gira en torno a una carta fechada el 7 de junio de 1.742. En ella el profesor de matemáticas en San Petersburgo Christian Goldbach le escribía a su celebérrimo colega y amigo Leonhard Euler. Lo importante de esta carta era lo que escribió en el último momento, por lo que conjeturaba que:

"Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos"

4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 7+3
12 = 7+5
14 =11+3 ...

Euler le respondió que parecía creíble, pero que él no había podido resolverlo.

Desde ese momento las mentes más brillantes han tratado de demostrarlo, pero no lo han conseguido con el rigor que exigen las matemáticas.

Esta Conjetura ha sido verificada hasta 100.000.000.000.000 p

Hipótesis de Riemann
Afirma la Hipótesis de Riemann que las partes reales de los ceros, de la llamada Función Zeta, a+bi, son siempre a = 1/2, es decir, están alineados. Esta función es

La distribución de los números primos dentro de los números naturales parece no seguir un patrón regular. Sin embargo, el matemático alemán Bernard Riemann observó que la frecuencia de números primos está muy cerca de relacionarse con el comportamiento de una elaborada función "z(s)", llamada la función Zeta de Riemann.

La Hipótesis de Riemann dice que todas las soluciones interesantes a la ecuación z(s) = 0 se ubican dentro de una línea recta. Esto ha sido chequeado para las primeras 1.500.000.000 soluciones. Una prueba que si es cierta para cada solución interesante podría dar luz sobre muchos misterios alrededor de la distribución de los números primos.

Más información: E. Bombieri, Instituto de Estudios Avanzados, Princeton

Conjetura de Collatz
Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en 1.937.

Escogemos un número natural n. Si es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos uno. Si es par lo dividimos por dos. En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a aplicar el proceso.

Por ejemplo: 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> ...

Como observaréis, en nuestro caso hemos llegado a un ciclo: 4,2,1,4,2,1,4,2,1....

La conjetura de Collatz afirma lo siguiente: Sea cual sea el número natural de partida, SIEMPRE se llega a ese ciclo.

Más información: http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html>

Los Siete Problemas del Milenio
Se ha dado en llamar "Los siete problemas del Milenio" a siete enunciados que han traído de cabeza a los matemáticos de los últimos años del siglo XX, y que podrían haber sido ocho si el profesor Andrew Wiles no hubiera probado la Última Conjetura de Fermat en el año 1.994

Los Siete Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachutsets (EEUU), el Instituto Clay de Matemáticas, para premiar con un millón de dólares USA a quien resuelva al menos uno de estos problemas.

En marzo de 2.002, un matemático inglés, Martin J. Dunwody, de la Universidad de Southampton, afirmaba haber resuelto completamente uno de estos problemas, concretamente el cuarto, la llamada Conjetura de Poincaré, que, aunque habia sido ya resuelta en los casos de n > 3 por algunos matemáticos, Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, se mantenía inaccesible, curiosamente, para n =3.

Más información en: http://www.maths.soton.ac.uk/~mjd/Poin.pdf

1. Problema del P (dificil de encontrar) contra el NP (fácil de verificar)
En el cálculo computacional pueden presentarse problemas en donde el número de alternativas posibles para una determinada condición de proceso es tan grande que ni siquiera con supercomputadores inexistentes aún en nuestra tecnología se podrían afrontar en toda la vida de un ser humano, pues no tendría para ello el suficiente tiempo (es el problema P). En cambio, la verificación de que una determinada alternativa verifica la condición de proceso es algo pràcticamente instantáneo (es el problema NP).

Si, por ejemplo, queremos colocar 6.000 libros en 200 estantes, de modo que se cumpla la condición de que no estén juntos ciertos libros de diferente materia, nos encontramos que el número de alternativas posibles podría superar al número de átomos de la Vía Láctea, con lo cual, el determinarlas todas (problema P - difícil de encontrar) es precisamente eso, muy difícil. En cambio, el verificar una de estas alternativas como válida (problema NP - fácil de verificar) es inmediato.

El desafío consiste en encontrar una respuesta, una ley, que permita generar todas las alternativas.

Más información: Stephen Cook, de la Universidad de Toronto

2. La conjetura de Hodge
Esta conjetura afirma que para ciertos espacios particulares denominados Variedades Proyectivas Algebráicas, las partes llamadas Ciclos de Hodge son realmente combinaciones de Ciclos Algebráicos.

Más información: P. Deligne

3. Ecuaciones de Navier-Stokes
Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbulencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente. El desafío consiste en encontrar tal fundamentación.

Más información: Charles L. Fefferman, de la Universidad de Princeton

4. La Conjetura de Poincaré (Resuelta por el Genio Ruso G. Perelman)
Para n<3, la única superficie compacta, orientable y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera Sn. Esto es, la superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones mayor que 2 puede contraerse hasta un único punto de forma continua, dicho de otro modo, la superficie de una esfera es simplemente conexa.

Más información: J. Milnor

5. La Hipótesis de Riemann
Comentada más arriba

6. La Teoría de Yang-Mills
La llamada Teoría de Yang-Mills describe las partículas elementales de la Mecánica Cuántica, y sus interacciones fuertes usando estructuras geométricas.

Estas descripciones teóricas han sido comprobadas experimentalmente en laboratorio y también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe edificada una teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas.

Más información: Arthur Jaffe y Edward Witten

7. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Aún cuando ya sabemos que no existen métodos generales para resolver las ecuaciones diofánticas tal como decía el décimo problema de Hilbert (demostrado en 1.970 por Yu. V. Matiyasevich), sin embargo, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que en el caso de las soluciones de las ecuaciones diofánticas generales, cuando éstas son los puntos de una variedad abeliana, el conjunto de los puntos que son soluciones racionales de las mismas depende de la función zeta, z(n), asociada, de modo que si z(1) = 0, hay infinitas soluciones, y si z(1) no = 0, el número de soluciones es finito.

Concepto
Los cuadrados mágicos son una forma antiquísima de acertijo numérico, consistente en formar un cuadrado de números cuyas filas, columnas y diagonales sumen lo mismo.


Historia
Dice la leyenda que el primer cuadrado mágico nació en el siglo XXIII a. C. y fue encontrado por el emperador chino de la época en el caparazón de una tortuga que pasaba por el río amarillo. Con este peculiar origen no es de extrañar que siempre hayan tenido un significado cabalístico y mágico, considerando que preservaban de todo tipo de enfermedades.

El cuadrado de 2 x 2 es imposible de resolver, lo que hizo que se viese como una imperfección, efecto o consecuencia del pecado. Los árabes utilizaron cuadrados de “n” impar con el 1 en el centro, número que sería la única representación de Alá.

Los cuadrados mágicos llegaron a Europa introducidos por Marco Polo, en el siglo XIII.

Durante la Edad Media se utilizaron como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándolos con la religión, la astrología y la alquimia. También se grababan como amuletos en láminas de plata con la creencia de que mantendrían alejada la peste negra. Los astrólogos y los alquimistas creían que la persona que llevaba una tablilla con la representación de un cuadrado mágico estaba protegida de la desgracia.

El matemático Cornelio Agrippa construyó en el siglo XVI cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 y les atribuyó un significado astronómico. Para Agrippa representaban simbólicamente a los planetas Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, más el Sol y la Luna, respectivamente.

Tipos
Cuadrado mágico de orden 3
Como se observa hemos colocado los números del 1 al 9 de tal forma que si sumamos cada columna da 15; cada fila da también 15; e incluso sumándolos en diagonal el resultado también es 15.

En las dos tablas siguientes podemos observar la cantidad de cuadrados mágicos de orden 3 que se pueden formar tomando nueve números consecutivos (esto se puede extrapolar a multitud de cuadrados de otros órdenes).


Cuadrado mágico de orden 4
Los cuadrados mágicos de orden 4 constan de 4 filas y de cuatro columnas.

En el siguiente cuadrado mágico de orden 4 observemos cómo hemos colocado todos los números del 1 al 16 de tal forma que suman lo mismo cada fila, cada columna y en diagonal.


Cuadrado mágico de orden 5

Cuadrado mágico de orden 6

En este cuadrado de orden 6 tenemos distribuidos todos los números del 1 al 36 de tal forma que da el mismo resultado si sumamos cada columna, cada fila o en diagonal.

Cuadrado mágico de orden 7


Cuadrado mágico de orden 8

Cuadrados Mágicos en el Arte
En “La Melancolía, de Durero”
El gran artista Alberto Durero, que también fue un distinguido matemático, incluyó en su obra Melancolía uno de los cuadrados mágicos más conocidos y que más ha fascinado a los estudiosos del tema.

El cuadrado mágico de Durero es de orden 4, pudiendo leerse la fecha en la que fue pintado en la parte inferior central (1.514). Como en todo cuadrado mágico, sus filas columnas y diagonales suman lo mismo: 34; pero además, también sus cuatro cuadrantes y su cuadrado central suman 34


Cuadrado mágico en “la melancolía”, de Durero
El cuadrado mágico de La Sagrada Familia
Siguiendo con cuadrados mágicos en el arte, podemos observar otro cuadrado mágico en “La Fachada de la Pasión”, de “La Sagrada Familia”, en Barcelona. Aunque Gaudí no dejó muy claro como dicha fachada tenía que quedar recubierta, cuando el escultor Josep María Subirachs aceptó el encargo, le dio su toque personal. Este cuadrado mágico es de orden 4, siendo la suma obtenida en vertical, horizontal, diagonal o en sus cuatro cuadrantes, de 33, o sea, la edad de Jesucristo en “La Pasión”. Se puede ver como es muy similar al de “La Melancolía”, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (12 y 14), apareciendo de esta forma repeticiones, rebajándose la constante mágica en 1.


Fachada de La Sagrada Familia

El Cuadrado de La Sagrada Familia
C. M. Curiosos
Observemos la originalidad de este cuadrado de orden 4


Como ya hemos dicho, los cuadrados mágicos se utilizaron en toda clase de supersticiones, observa este cuadrado mágico de orden 6. Todas sus filas columnas y diagonales suman 666, es decir el número del diablo, por eso es conocido como Cuadrado Mágico Satánico.


Ricemos el rizo de la fantasía y de la magia, porque el siguiente cuadrado mágico (creado por A.W. Johnson) no sólo es satánico, sino que además todos los números que lo integran son números primos.


Nuestro siguiente cuadrado mágico, además de ser peculiar, tiene la particularidad de que fue creado, nada más y nada menos, que por Benjamin Franklin. Y es que el inventor del pararrayos era muy aficionado a estos mágicos pasatiempos.


Entre las propiedades del cuadrado mágico de Franklin podemos observar las siguientes:
2) Cada fila suma 260
3) Cada columna suma 260
4) La primera mitad de cualquier fila suma 130
5) La segunda mitad de cualquier fila suma 130
6) La primera mitad y la segunda mitad de cada columna suman 130
7) Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260
8) La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130
9) Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro números de la diagonal respectiva que bajan suma 260.

Métodos de Resolución
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a De La Loubere que fue embajador de Luis XIV en Siam los años 1687 y 1688, y publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que dio a conocer su método de construcción de cuadrados impares. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5. Para comprender mejor el método vamos a llamar a cada celda por su fila y columna, es decir:


Nos imaginamos que nuestro cuadrado es un cilindro ‘imposible’, es decir, nos imaginamos que las filas 1 y 5 están unidas, así como las columnas 1 y 5. Y empezamos colocando primero el 1 en la posición central de la fila superior (1,3) y vamos rellenando en diagonal, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente. Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal. Veámoslo en varios pasos:


2.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el método de Bachet, diseñado por el matemático francés Claude-Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), es un método muy visual y sencillo. Vamos a utilizarlo para construir un cuadrado mágico de orden 5.

Tenemos que crear el siguiente dibujo y distribuir los números de forma consecutiva y de esta forma:


Los números que han quedado dentro del cuadrado de 5 por 5 los dejamos, y colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. De esta forma nos quedará el siguiente cuadrado mágico de orden 5 (puedes comprobar que las sumas de filas, columnas y diagonales dan 65).


3.- Cuadrados mágicos de orden 4k
Vamos a construir un cuadrado mágico de orden 4k y lo rellenamos con los números del 1 al (4k)2 dispuestos de forma consecutiva (en nuestro ejemplo, el valor de k es 2, y los números serán, por lo tanto, del 1 al 64). A la vez dividimos el cuadrado grande en submatrices cuadradas de orden 4, tal como se muestra en la figura.

A continuación, tachamos cada submatriz con una X.
Los números que están situados en celdas por donde no pasan las X se mantienen en su lugar, y por los que sí pasa la X los vamos a intercambiar con su simétrico, invirtiendo de esta forma el orden en que han sido colocados en el cuadrado.

Y de esta forma, ya hemos construido un cuadrado mágico de orden 8, que a su vez tiene en su interior otros cuadrados mágicos de orden 4.
Fuente: “Fortalece tu mente”, Alberto Coto (editorial EDAF, 2007)

"A menudo me encuentro más cerca de los matemáticos que de mis colegas los artistas."
MC Escher
Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher nació un viernes 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Estudio en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem. Durante el año 1924 se trasladó a Roma donde permaneció hasta 1934. Más tarde viajará por Suiza y Bélgica hasta que en el año 1941 se instaló definitivamente en Baarn, Holanda, donde moriría en el año 1972.

Como la mayoría de los genios no fue un estudiante destacado en el colegio, teniendo problemas de adaptación y una personalidad poco sociable, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo en el mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su verdadera pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en las escuelas de arte, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia, España e Italia, lugares donde encontró numerosas fuentes de inspiración para su obra.

Sus trabajos le convirtieron en uno de los más grandes artistas gráficos del siglo XX y, sin duda, «uno de los más reconocibles y admirados por el gran público», que encuentra sus dibujos exóticos, bonitos e intrigantes.

Sus más populares obras, figuras imposibles, fondos reticulados con diversos patrones y mundos imaginarios han sido reproducidas hasta la saciedad en portadas de libros, revistas, campañas publicitarias y en todo tipo de formatos. Escher es, en cierto modo, uno de los artistas más referenciados en la «cultura popular» del siglo XX.

Pese a no tener formación matemática, sus dibujos interesan tanto o más a los científicos que a los propios artistas, dado que en ellos subyacen una serie de conceptos matemáticos como pueden ser la geometría hiperbólica, cintas de Möebius, traslaciones, simetrías, cuerpos platónicos o el propio infinito.

Escher fue uno de esos artistas inusuales, dispuesto a mostrar que una superficie bidimensional es capaz de generar ilusiones ópticas muy profundas.

http://www.microsiervos.com/archivo/diseno/obras-favoritas-mc-escher.html

Maravillas de M.C. Escher
Aunque son muchísimas sus obras, y todas ellas de gran belleza, he seleccionado 7 de las más conocidas y de las que personalmente más me gustan.

Autorretrato: (litografía, 1935). En esta obra nos lleva a pensar, sugiriendo que la realidad no es tal como la percibimos. Se dibuja a sí mismo sosteniendo una esfera en la que se ve su figura y la habitación con todo lujo de detalles, dentro de un dibujo tridimensional, que en realidad no lo es, y sí un dibujo realizado sobre un plano.

Día y noche: (madera, 1939) Es una de las obras más conocidas y admiradas de Escher. Rellenando todo el espacio se observan patos blancos y negros volando en sentido contrario y con otra interesante dualidad: hacia dos poblaciones que son la misma, pero una en el día y otra en la noche.

Tres Esferas: (madera, 1945). Escher nos engaña una vez más, haciéndonos creer que estamos ante tres esferas, que son la misma. Pero estamos ante un círculo plano con un dibujo curvo, que aparenta ser una esfera… al dibujar el mismo círculo tumbado y más tumbado aún, resulta obvio entender que estábamos ante un dibujo plano, y no en 3 dimensiones, como de entrada nos hacía creer.

Arriba y abajo: (litografía, 1947). Observemos que si hacemos un corte horizontal y dividimos la imagen en dos, aparece la misma escena dibujada desde dos puntos de vista bien distintos. Además, el genio de Escher, hace coincidir el techo de la primera con el suelo de la segunda. Los haces de líneas curvas están matemáticamente tan bien realizadas y con tanta sutileza, que el cerebro acepta el hecho de no saber si estamos arriba o abajo.

Manos dibujando: (litografía, 1948) De la bidimensionalidad del papel a la tridimensionalidad de la realidad surgen dos manos dibujando, curiosamente cada mano está dibujando a la otra … Y fueron dibujadas por una sola mano … la de M.C. Escher.

Angeles y demonios: (madera, 1960): En esta obra, podemos apreciar la partición regular del plano sin dejar hueco alguno, en el que se combinan ángeles y demonios, negros y blancos. También se puede ver gracias a la geometría hiperbólica que a medida que un punto se aleja del centro, es cada vez más pequeño, lo que nos permite abarcar el infinito en un círculo de tamaño limitado.

Ascendiendo y descendiendo (litografía, 1960). Dibujó a unos monjes subiendo y a otros descendiendo por unas escaleras. Sin embargo, ninguno de los dos grupos parecen hacer algo distinto. Nos encontramos con un ascenso o descenso infinito que son imposibles, pese que el espectador no pueda encontrar esa inconsistencia..

Concepto
El concepto pensamiento lateral fue creado por el psicólogo, médico y escritor de origen maltés Edward de Bono, y podemos definirlo como un proceso mental diferente al deductivo.

Dos preguntas son clave para definir la idea de pensamiento lateral:

¿Porqué tenemos que pensar "de frente" a la hora de enfocar los problemas de lógica o de matemática en general?

¿Es el camino más fácil siempre el camino "correcto" en el enfoque de cualquier problema?

De Bono analiza las limitaciones que el pensamiento lógico, al que también denominó como “pensamiento vertical”, puede llegar a tener cuando se trata de buscar soluciones a problemas que necesiten nuevos enfoques.

Para tratar de resolver estos problemas o crear nuevas soluciones, acuñó el concepto “pensamiento lateral”, con el que quiere buscar soluciones aparentemente extrañas y absurdas, caminos diferentes por los que nuestro cerebro no está acostumbrado a transitar.

Ejemplos de Pensamiento Lateral
1)Este loro es capaz de repetir todo lo que oiga", le aseguró a una señora el dueño de una pajarería. Pero una semana después, la señora que lo compró estaba de vuelta en la tienda, protestando porque el loro no decía ni una sola palabra. Y sin embargo, el vendedor no le había mentido. ¿Puedes explicarlo tu?

2)Un equipo de fútbol, formado por integrantes de gran fuerza física, se disponía a subir al avión para jugar su partido del domingo. Sin embargo, quien ejercía la capitanía del equipo sufrió un desmayo, desplomándose justo antes de iniciar el viaje. Ya en el hospital, se le hizo una revisión y, los médicos, percibieron que llevaba ropa interior femenina. No obstante, nadie mostró su asombro. ¿Sabrías decir porqué?

3) En una habitación en la que no hay ningún mueble ni ningún objeto, aparecen un hombre ahorcado y un charco de agua exactamente bajo sus pies. ¿Cómo ha conseguido este hombre suicidarse?

Soluciones

1) El loro era sordo

2) El equipo de fútbol era femenino

3) Se ahorcó colocando bajo sus pies un bloque de hielo

Bibliografía
“Ayuda a tu hijo a entrenar su inteligencia”: Alberto Coto

Importancia
En los últimos años han proliferado los exámenes tipo test a la hora de acceder a puestos de trabajo, o para ingresar en tal o cual curso. Son tests objetivos que permiten apreciar aptitudes o capacidades.

Entre ellos están los tests numéricos. Por este motivo, quien desarrolle una buena capacidad numérica, lógica, y deductiva, es mucho más probable que tenga éxito a la hora de acceder a un puesto de trabajo que exija este tipo de ejercicios. Dicho esto, creo que la importancia del buen entrenamiento en este tipo de cuestiones está más que demostrada.

Consejos para Afrontarlos
Lo primero es no tenerles miedo, si de entrada pensamos que no somos de números o nunca voy a poder con ellos, estamos fracasando antes de comenzar.

Los tests psicotécnicos que miden las aptitudes numéricas no suelen tener una dificultad extrema, la clave está en la práctica y una metodología basada en la mecánica de cálculo y en una buen desarrollo del pensamiento lógico, para saber discernir qué puede ser y qué no, pues en la mayoría de ocasiones la respuesta has de elegirla entre varias opciones dadas. Para afrontar estos ejercicios, tendrás que potenciar tu mecánica de cálculo, tu capacidad lógica, y controlar tus nervios, pues en ocasiones son decisivos a la hora de afrontar el examen, para ello sería recomendable utilizar alguna técnica de relajación.

Aptitudes Numéricas
En los más de 10 años que llevo dando conferencias por centros educativos y otros ámbitos, he constatado el creciente problema que nuestra sociedad vive en cuanto al buen manejo de los números. Por ello, mucha gente fracasa a la hora de preparar unas oposiciones en este apartado, con la consiguiente frustración que ello genera, y el aumento de esa “manía” a lo que son los números.

En mis cursos presenciales y on-line, desarrollo diferentes técnicas y métodos para potenciar esta faceta, pudiendo además entrenarse a través de diferentes simuladores. Para dominar el arte de calcular hay que practicarlo, introducir una rutina de juego diario con los números. Vivimos en una sociedad que está repleta de situaciones en las que puedes practicar: juega con las matrículas de los coches, trata de sumar el precio de los productos en un supermercado, o cuando estés en la cola del banco o de la panadería, juega mentalmente creando tus propios cálculos.

Algunos Ejemplos
A continuación vamos a plantear 3 ejercicios con la forma de resolverlos. No siempre hay que hacer los cálculos, a veces es más que suficiente aplicar una buena lógica numérica, y además, ahorraremos mucho tiempo en la respuesta.

1) Enunciado

Resuelve la siguiente multiplicación:

328 x 456

a) 149337
b) 85748
c) 149568
d) 3456875

Solución:
En este caso no calcules nada, el tiempo es oro en este tipo de exámenes. Lo primero a pensar es: ha de acabar en 8 (pues 8 x 6 = 48, acaba en 8). Y lo siguiente es que ha de tener 6 dígitos el resultado.

Por lo tanto, sólo puede ser el

c) 149568

2) Enunciado

ENUNCIADO: Hallar la siguiente Raíz Cuadrada

Raiz de 0. 00000144
a) 0.12
b) 0.012
c) 0.00012
d) 0.0012

SOLUCIÓN
Nos están preguntando por la raíz cuadrada del número 0.00000164, que consta de ocho decimales.

Por el concepto de Raíz cuadrada, sabemos que la respuesta es un número que multiplicado por si mismo nos de el que está dentro de la raíz.

Como el de la raíz tiene un total de ocho decimales, deducimos que el resultado tendrá que tener la mitad, o sea, 4 decimales.

Por lo tanto, la respuesta es d) 0.0012

3) Enunciado

Calcular el 12% de 264 / 2

Solución

En primer lugar calculamos 264 / 2

Se trata de una división normal.

264/2 = 132

Ahora tenemos que calcular el 12% de 132

Para calcular el 12% de un número debemos multiplicarlo por 0.12

132 * 0.12 = 15.84

Bibliografía recomendada
“Entrenamiento Mental”: Alberto Coto
“Fortalece tu mente”: Alberto Coto
“Ayuda a tu hijo a entrenar su inteligencia”: Alberto Coto


Esto es un caos
El caos circulatorio vespertino es hoy especialmente caótico en Madrid, si, como el café doble es doble. Mi rutina de estudiante de matemáticas exactas encamina mis pasos por la vereda habitual hacia la boca del metro, y me anima a pillar como siempre el último vagón de la línea gris. Entro en el habitáculo, tomo siento y extraigo el iphone de la mochila, pongo la música en el auricular inalámbrico y selecciono mi hobbie favorito: “ descargar juego de poker” me indica el teléfono… por fin voy a poder jugar tranquilo después de tantas horas de clases, teoremas y leyes. Pero de súbito un desastre: fuera de cobertura… vaya… ¿y qué hago yo ahora durante los próximos cuarenta y cinco minutos?... vaya rollo…

Mirar o ver
Miro absorto y constreñido el billete de metro como si fuera mi único acompañante…y de súbito -si, otra vez- se me ocurre algo que quizás pudiera servir para mitigar aquel tormento de silencio monacal… veamos… ¿qué necesito para jugar al poker?... números… y yo tengo números en mis propias narices…! los billetes de metro¡… tengo el bolsillo lleno de ellos de todo el mes…casualmente, no uso bonometro.

Poker urgente
Lo de la música es casi imposible de conseguir, aparte del rechinar de los vagones cuando el metro toma la curva para entrar desde Moncloa a Princesa, pero las cartas si que las tengo…me explico: atendiendo a las 5 cifras de un billete de metro o autobús se puede improvisar una singular partida de poker español, donde las jugadas, de mayor a menor, son las siguientes, con sus ejemplos numéricos:

  • Repoker: Cinco cifras iguales 33.333
  • Poker: Cuatro cifras iguales 52.555
  • Full: Un trío y una pareja de cifras iguales 60.606
  • Color: Cinco cifras de la misma paridad 15.357
  • Escalera: Cinco cifra correlativas 45.376
  • Trío: Tres cifras iguales 22.402
  • Doble par: Dos pares de cifras de igual valor 23.253
  • Pareja: Dos cifras iguales 85.083

Vuelta al orden
Cuando por fin tenía la idea clara de cómo colocar los billetes en el asiento contiguo, vacío, a modo de jugador invisible, el metro ya llegaba a las estribaciones de la Plaza de Legazpi, mi barrio, y el celular se encendió por iniciativa propia anunciándome el final de la restricción técnica: cobertura completa en toda su zona. También parpadeaba el icono de los mensajes: www.pokerlistings.es. Me alegré, ya que a pesar del ardid numérico narrado, finalmente pensé: ¿cómo iba a jugar contra mí mismo?... menudo aburrimiento.

- Este relato está inspirado en el libro “Diversiones Matemáticas” de R.R.V. -
r.-

Una Mente Maravillosa
John Forbes Nash Jr. es un joven de mente brillante que trabaja en la Universidad de Princeton. Todos le auguran un gran futuro como matemático, aunque él es consciente de que la única forma de destacar en su campo es obtener una idea realmente original. Nash no ceja en su empeño hasta que por fin consigue su objetivo: crear una innovadora teoría de los juegos que desbanca las líneas de pensamiento anteriores.

El joven matemático empieza a ser reconocido. Por otra parte, conoce a una inteligente estudiante, Alicia Larde, de la que se enamora y con la que acaba casándose. Todo parece irles bien hasta que a Nash le diagnostican una esquizofrenia paranoica.

El amor y el apoyo incondicional de Alicia ayudarán a su esposo a luchar contra su enfermedad y llevar adelante su carrera pese a las dificultades por mantener una vida normal. Años más tarde, su esfuerzo se verá finalmente recompensado con el Premio Nobel.

Director: Ron Howard
Interpretes: Russell Crowe, Ed Harris, Jennifer Connelly, Christopher Plummer...
Año: 2001

Los fisgones
Años atrás, Martín Bishop cometió un grave delito manipulando ordenadores. Continúa libre al frente de un grupo de expertos que cobra fortunas a grandes empresas a cambio de poner a prueba sus equipos de seguridad. Pero una agencia estatal de espionaje le ha localizado.

Director: Phil Alden Robinson
Interpretes: Robert Redford, Dan Aykroyd, Ben Kingsley, Mary McDonnell, River Phoenix, Sidney Poitier, David Strathairn, Timothy Busfield George Hearn, Stephen Tobolowsky, Gary Hershberger, Jojo Marr, Bodhi Elfman, Denise Dowse.
Año: 1992

Los Crímenes de Oxford
Una anciana aparece asesinada en el salón de su casa a las afueras de Oxford. Su cuerpo es descubierto por dos hombres que en ese momento se encuentran por primera vez: Arthur Seldom, prestigioso profesor de Lógica, y Martin, un joven estudiante americano recién llegado a la universidad con la intención de que el famoso profesor dirija su tesis doctoral.

La muerte de la anciana no es sino el primero de una serie de asesinatos con inquietantes puntos en común. Son crímenes casi imperceptibles, que podrían incluso pasar por muertes naturales si no fuera porque cada uno de ellos viene acompañado de un mensaje: una imagen, un signo diferente en cada ocasión que, muerte a muerte, va dando forma a una serie cuya lógica deberán descifrar los protagonistas.

Recorrer ese camino supondrá poner a prueba no solo las convicciones matemáticas sino la propia forma de entender el mundo del profesor y del alumno ¿Podemos conocer la realidad? ¿Es posible alcanzar la verdad?

Director: Álex de La Iglesia
Intérpretes: Elijah Wood, John Hurt, Leonor Watling, Julie Cox, Anna Massey, Alex Cox, Dominique Pinon, Jim Carter.
Año: 2008

La habitación de Fermat
Cuatro matemáticos desconocidos entre sí (Lluís Homar, Alejo Sauras, Elena Ballesteros y Santi Millán) son invitados por un misterioso anfitrión (Federico Luppi) con el pretexto de resolver un gran enigma. La sala en que se encuentran resulta ser un cuarto menguante que les aplastará si no descubren a tiempo los diversos enigmas que se les plantea. Finalmente intentarán descubrir qué les une y por qué alguien desea asesinarles.

Director: Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña
Interpretes: Alejo Sauras, Elena Ballesteros, Santi Millán, Lluís Homar y Federico Luppi
Año: 2007

En busca de Bobby Fisher
Un día, Josh (Max Pomeranc), un niño neoyorkino de 7 años, comienza a jugar al ajedrez con la maestría y creatividad de Bobby Fischer, por el que siente una extraña fascinación. Asombrados con el don de su hijo y preocupados por alentarlo, sus padres (Joe Mantegna y Joan Allen) le matriculan en la escuela de ajedrez del veterano maestro Bruce Pandolfini (Ben Kingsley), que toma al pequeño bajo su severa tutela.

Josh comienza a ganar uno tras otro todos los campeonatos infantiles. Pero entonces se le plantea una difícil cuestión moral: ¿Es necesario –como le dice su maestro– que renuncie a sus juegos de infancia, a sus amigos, a su inocencia, a sus convicciones más íntimas... por ganar? ¿Vale la pena pagar tan alto precio? Porque, además, él con quien realmente disfruta es con Vinnie (Laurence Fishburne), un negro amigo suyo que se gana la vida jugando al blitz (ajedrez rápido) en el parque de Washington Square. Ante la perplejidad y el temor de sus padres y de su maestro de ajedrez, Josh tendrá que decidir qué camino debe elegir para salir de su encrucijada interior.

Hay películas que se salen, para bien, de cualquier clasificación; En busca de Bobby Fischer es una de ellas. Supone el debut como director de Steven Zaillian, afamado guionista de films como El juego del halcón, Despertares –por el que fue candidato al Oscar– o La lista de Schindler, la última película de Steven Spielberg, con la que ganó la estatuilla al mejor guión adaptado en la edición de 1993. No ha podido ser mejor su debut. Desde luego, partía de la sugerente historia real de Josh Waitzkin, convertida en libro por su padre, un conocido periodista deportivo. Pero no era nada fácil conseguir lo que Zaillian ha conseguido: hacerla cinematográficamente fascinante.

Director: Steven Zaillian.
Interpretes: Max Pomeranc (Josh Waitzkin), Joe Mantegna (Fred Waitzkin), Joan Allen (Bonnie Waitzkin), Ben Kingsley (Bruce Pandolfini), Laurence Fishburne (Vinnie), Michael Nirenberg (Jonathan Poe).

El pequeño Tate
Jodie Foster realiza un impresionante debut como directora en esta penetrante e inolvidable película que trata sobre la vida de un niño prodigio y lo dura que a veces puede resultar la fama.

Protagonizada por las dos veces ganadoras del Oscar® Jodie Foster y Dianne Wiest, "El pequeño Tate" es un emocionante y magnífico retrato del espíritu humano. Fred Tate (Adam Hann-Byrd) es un pianista con talento, un genio de las matemáticas y un increíble artista... con sólo 7 años. Sin embargo, este niño prodigio se siente desdichado. Rehuido por sus compañeros y aburrido de las clases del colegio, el niño se siente angustiado por el ambiente que le rodea. Decidida a sacar el máximo partido de su increíble potencial y aun con el temor de no poder disfrutar de su infancia, Dede (Foster), la madre soltera de Fred, accede a que la psicóloga que trata al niño (Wiest), le interne en una escuela para niños superdotados. Pero cuando entra en la escuela, Dede se da cuenta de que su hijo está más solo que nunca y de que es dentro de ella misma donde está la clave para que el pequeño Fred encuentre lo que siempre ha estado buscando: una madre.

Director: Jodie Foster
Intérpretes: Jodie Foster, Dianne Wiest, Adam Hann-Byrd, Harry Connick Jr.
Año: 1991

El indomable Will Hunting
Will Hunting (Matt Damon) es un joven rebelde y carismático con una capacidad intelectual fuera de lo normal. Al igual que sus amigos, Will realiza trabajos mal pagados y pasa su tiempo libre en el bar, donde en ocasiones tiene problemas con la ley.Tras una pelea en el bar, Will se ve obligado a ir a la cárcel. Su única esperanza es Sean Maguire (Robin Williams), un profesor y terapeuta que queda asombrado de sus capacidades y problemas emocionales. Entre ellos empieza una conflictiva y extraña relación.

Director: Gus Van Sant
Intérpretes: Matt Damon (Will Hunting), Robin Williams (Sean McGuire), Minnie Driver (Skylar), Ben Affleck (Chuckie), Stellan Skarsgard (Lambeau)
Año: 1998

Cube
El comienzo de la película es tan inusual como lleno de intriga. Un hombre se despierta en un habítaculo con forma de cubo. Al mirar a su alrededor, se da cuenta de que cada una de las paredes del cubo tiene una trampilla por la que se puede acceder (cuatro en las paredes verticales, una en el techo y otra en el suelo). Cada una de las trampillas da a otro cubo, ambientado con luces de un color distinto (verde, blanco, azul, rojo…). Sin embargo, algunos de esos habitáculos con forma cúbica tienen trampas mortales, y no hay modo de saberlo.

Vicenzo Natali contó con 7 actores (no más) para realizar la película, en la cual vemos a un grupo de protagonistas (una joven experta en matemáticas, un arquitecto, una doctora, un policía, un chico deficiente y un fugitivo) encerrados en una red inmensa de cubos a la que han llegado sin saber por qué ni quién les ha llevado hasta allí. Evidentemente, tampoco saben como salir. Su única opción es tratar de encontrar una salida recorriendo los sucesivos cubos con la única ayuda de una bota para evitar los habitáculos con trampas. Sin embargo, la desesperación, la falta de respuestas y el ambiente claustrofóbico de cada cubo hacen que emerjan los roces entre los protagonistas, sacando a la luz los instintos más profundos de cada uno (agresividad, intolerancia, egoísmo, apatía frente a la vida…).

Cada cubo tiene inscrito en sus entradas tres números de tres cifras cada uno. ¿Será esa la clave para dar con la salida?

Lo que algunos ven como lo peor de la película, otros muchos lo ven como su principal atractivo: la falta de respuestas. El espectador es otro protagonista. Nunca sabrá más que ellos. Y eso es lo que nos hace fundirnos con ellos y tratar de averiguar qué está pasando. Después de Cube hicieron dos secuelas, Hypercube y Cube Zero, de menor calidad que la primera, si bien Cube Zero trata de explicar el por qué del Cubo y tiene un final sorprendente.

Director: Vicenzo Natali
Intérpretes: Nicole de Boer (Leaven), Nicky Guadagni (Holloway), David Hewlett (Worth), Andrew Miller (Kazan), Julian Richings (Alderson), Wayne Robinson (Rennes) y Maurice Dean Wint (Quentin)
Año: 1997

21 Black Jack
"21" sigue las andanzas de un grupo de jóvenes que se convirtieron en expertos en el arte de contar cartas para ganar en los casinos. Ben Campbell (Jim Sturgess) es un tímido y brillante estudiante del prestigioso Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT) que, al no poder pagar la matrícula de la universidad, encuentra la solución en las cartas. Se le da la oportunidad de unirse a un grupo formado por los estudiantes más dotados de la escuela, que viajan a Las Vegas cada fin de semana armados con identidades falsas y con el conocimiento necesario para inclinar las probabilidades de éxito en el black-jack a su favor. Bajo la dirección del poco ortodoxo profesor de matemáticas y genio de la estadística Micky Rosa (Kevin Spacey), han conseguido descifrar el código del éxito. Al contar las cartas y emplear un intrincado sistema de señales, el equipo puede triunfar de forma colosal en los casinos. Seducido por el dinero, el estilo de vida de Las Vegas, y por su inteligente y atractiva compañera de equipo, Jill Taylor (Kate Bosworth), Ben empieza a cruzar los límites. Aunque contar las cartas no es ilegal, las apuestas son altas, y el desafío consiste no sólo en llevar bien la cuenta de los números, sino en ir un paso por delante del amenazador policía de casinos: Cole Williams (Laurence Fishburne).

Director: Robert Luketic
Intérpretes: Jim Sturgess, Kate Bosworth, Laurence Fishburne, Kevin Spacey, Liza Lapira, Josh Gad, Masi Oka, Aaron Yoo, Sam Golzari
Año: 2008

Pi (Fe en el caos)
Max es un brillante matemático que está a punto de dar con el descubrimiento más importante de su vida: la decodificación del sistema numérico que rige el aparente caos del mercado bursátil. Pero primero ha de encontrar el valor del número PI. Mientras se acerca a la verdad, y afectado periódicamente por unas brutales jaquecas, Max es acosado por una agresiva firma de Wall Street y una secta judía que pretende descifrar los secretos ocultos tras los textos sagrados. Todos ansían apropiarse del inminente hallazgo de Max.

Director: Darren Aronofsky
Intérpretes: Sean Gullette, Mark Margolis, Ben Shenkman, Pamela Hart
Año: 1998

El teorema del Loro
Un recorrido muy peculiar por la historia de las matemáticas acompañando a un viejo librero de París mientras resuelve el misterio que encierra “la biblioteca de la selva” (completísima biblioteca matemática), herencia que le legó un amigo junto con un loro. La solución del misterio puede que le ayude a comprender el por qué de la herencia y las circunstancias de la muerte de su amigo en Sudamérica.

Autor: Denis Guedj
Editorial: Anagrama
ISBN: 9788433967268

Los Códigos secretos
El libro presenta no sólo una historia de la criptografía (ciencia de la ocultación del contenido de un mensaje) y, por lo tanto, del criptoanálisis (método para recuperarlo) sino una descripción de su evolución desde la primeras codificaciones conocidas hasta los albores de la criptografía cuántica y sus perspectivas.

La elaboración de un mensaje entre dos seres tiene una componente de comunicación y una, no menos importante, de privacidad. Desde el mensaje entre dos enamorados hasta la comunicación entre dos unidades militares amigas separadas en el campo de batalla (o dos brockers en plena orgía bolsística), se nos pueden ocurrir millones de razones para que un mensaje sea sólo conocido por emisor y receptor, y para que multitud de ajenos deseen descifrarlo. Dos indios navajos pueden, en un zoco, diseñar en voz alta una estrategia de regateo que el vendedor árabe no tendrá tiempo de contraatacar.

La historia de este proceso iniciado en lo político y militar en la guerra de las Galias de César (citado en un tratado de Valerio Probo) con las llamadas cifras de sustitución es una historia dialéctica: se descubre un cifrado que es útil hasta que se descubre el método de descifrado correspondiente que, a su vez, genera un cifrado mejor y así sucesivamente. Singh nos habla de la cifra de Vignole, la máquina Enigma y su impresionante entramado de espionaje y contraespionaje en la segunda guerra mundial, la interpretación del Lineal B por Ventris y Chadwick como griego antiguo y el actual enigma del Lineal A, la clave RSA y las comunicaciones bancarias y de la red de redes...

Se trata de un libro de divulgación, para no especialistas, pero no trivial. A veces directamente, a veces con apéndices, el sustrato matemático queda patente y por encima de todo una idea que ojalá haya trascendido tras el irregular Año Mundial de las Matemáticas: en muchos momentos de la historia el matemático es el científico adecuado para resolver el problema. Los servicios secretos ingleses se aperciben que lo que los lingüistas y los psicólogos son incapaces de resolver lo hacen los matemáticos con su lenguaje (las matemáticas como lenguaje de la ciencia). Turing es un ejemplo.

No olvida Singh las cuestiones éticas y legales del tema y aporta un buen número de lecturas adicionales e incluso páginas web donde el lector inquieto podrá saciar su sed de saber; con un pero: el quid de la cuestión es el secreto. Lo que se descubra hoy no se podrá conocer públicamente hasta que sea anecdótico su conocimiento y fuera de toda actualidad. ¿Se puede uno imaginar a un colega que descubra un resultado determinante en su disciplina y que lejos de correr a publicarlo tenga que morderse la, lengua y contentarse con saber que quizás esté siendo aplicado?

Autor: Simon Singh
Editorial: Debate
ISBN: 84-8306-278-X

Lee a Julio Verne
Sean tres despreocupados personajes actuales A, B y C, embarcados en la aventura de descubrir los secretos de su juventud recién estrenada. Por necesidad, aunque con inicial desgana, intentan descifrar los mensajes codificados que el dominante padre de uno de ellos les envía, porque de los significados depende su subsistencia. Supongamos que esta tarea les induce a redescubrir las olvidadas matemáticas del bachillerato y a releer las obras de Julio Verne y otras creaciones literarias hasta encontrar sus relaciones con la criptografía. Imaginemos que una tarea tan excitante aflora las limitaciones de los protagonistas y crea vínculos y dependencias entre ellos, y una fascinación capaz de desbordarse en forma de pasión amorosa.

Si este planteamiento impusiese un acercamiento paulatino, pero inexorable, de nuestros personajes a las matemáticas, a unas matemáticas inauditas y sorprendentes, y el resultado de la ecuación fuese un desenlace imprevisto, dramático e increíble, entonces estaríamos ante la verdadera historia de Cristina, Beatriz y Alejandro, los protagonistas de Lee a Julio Verne, una obra inclasificable, llena de amor y criptografía, donde las mujeres aprenden a jugar mientras maduran entre la ignorancia de los hombres y el (re)conocimiento de las matemáticas.

Autor: Susana Mataix
Editorial: Rubes
ISBN:9788449700156

INFINITUM (Citas Matemáticas)
Primer libro en castellano con casi 1.500 citas y frases célebres sobre Matemáticas y matemáticos. Más de 600 autores y 1.200 palabras relacionadas. Ordenado para facilitar la búsqueda de conceptos, autores o palabras. Se pueden encontrar citas y frases célebres de la mayoría de los grandes matemáticos y matemáticas que han existido, así como de otras personas no matemáticas, pero siempre relacionadas con las Ciencias Exactas.

Autor: Juan Fco. Guirado
Editorial: Editorial Eneida S.A.
ISBN: 978-84-95427-79-6
Huevos, nudos y otras mistificaciones matemátic
¿Sabía usted que, según muchos indicios, el juego de damas comenzó en el siglo XII en el sur de Francia, que lo juegan miles de personas en Inglaterra y Estados Unidos, pero con reglas diferentes a las usadas en Francia, Polonia y Rusia? Esta modesta diversión requiere mucha más inteligencia que el ajedrez, porque, como dice su actual campeón del mundo, M.T. Tinsley, si «jugar al ajedrez es contemplar un océano sin fin, jugar a las damas es como mirar en un pozo sin fondo». Gardner presenta en este libro una verdadera novedad, que son los cálculos más importantes realizados por grandes matemáticos para conocer los secretos -mucho menos estudiados que los del ajedrez- de las jugadas más refinadas de las damas. Otro tema de gran interés que presenta el autor son las asombrosas posibilidades de la «aritmética del reloj» o álgebra modular, desarrollada por el genio Karl Friedrich Gauss. Curiosamente, los primeros interesados en estos cálculos fueron algunos Papas, preocupados por las siempre corredizas fechas de la Pascua de resurrección. ¿Ya sabían estos dignatarios de la iglesia que el álgebra modular no sólo sirve para calcular fechas del calendario, sino también para realizar toda clase de trucos de ilusionismo, por ejemplo, con naipes y fichas numeradas? Aquí se explican los más sorprendentes para que el lector pueda deslumbra a todos con su magia. Esta obra es una valiosa contribución a la cultura matemática, que i ncluye relatos sobre grandes momentos de su historia y también las soluciones más recientes y sofisticadas obtenidas con ordenador en instituciones científicas.

Autor: Martin Gardner
Editorial: Gedisa
ISBN: 9788474329346

El tío Petros y la Conjetura de Goldbach
El anciano tío Petros vive retirado de la vida social y familiar, entregado al cuidado de su jardín y a la práctica del ajedrez. Su sobrino, sin embargo, descubre un día por azar que el tío Petros fue un matemático eminente, profesor en Alemania e Inglaterra, niño prodigio en esta disciplina y estudioso totalmente absorto en sus investigaciones científicas.

Como irá descubriendo el sobrino, y el lector con él, la vida de Petros Papachristos ha girado durante años en torno a la famosa conjetura de Goldbach, un problema en apariencia sencillo, pero que durante más de dos siglos nadie ha conseguido resolver.

En El tío Petros y la conjetura de Goldbach las matemáticas adquieren una dimensión simbólica, y los esfuerzos de un estudioso por resolver un enigma reflejan la lucha prometeica del ser humano por conquistar lo imposible.

Autor: Apóstolos Doxiadis
Editorial: Ediciones B S.A.
ISBN: 9788440698773

El Libro Del Genio Matemático
Los 150 nuevos pasatiempos, juegos y enigmas aquí contenidos plantean un reto para el ingenio y despiertan la imaginación. Grandes pensadores como Einstein, Lewis Carroll o Bertrand Russell se interesaron por este tipo de rompecabezas matemáticos, ya que alimentan la inteligencia y la capacidad creativa.

Autor: Carlo Frabetti
Editorial: Ediciones Martínez Roca, S.A.
ISBN: 9788427028852

El hombre que calculaba
El hombre que calculaba (en portugués, O homem que calculava) es una novela escrita por el brasileño Júlio César de Mello e Souza, bajo el seudónimo Malba Tahan. El libro fue escrito con la intención de popularizar algunos conceptos matemáticos.

Publicado por primera vez en Brasil en 1949, El hombre que calculaba es una serie de relatos, cada uno basado en un problema matemático clásico.

El protagonista es el matemático y místico persa Beremiz Samir, quien usa sus habilidades matemáticas para resolver los problemas que encuentra en el camino, asombrar y divertir a la gente, resolver disputas, hacer justicia y, finalmente, ganarse el corazón de una bella princesa. Este hombre descubre sus talentos matemáticos cuando dicha joven, que trabaja para un hombre rico, contaba todas las ovejas del rebaño. Al notar que se le hacia fácil, comenzó a practicar con aves y otros animales. algunos de los números magicos que se relatan en el libro son; "los cuatro cuatros", "el nº142857". (el libro es muy recomendable)

Autor: Malba Tahan
Editorial: Pluma y Papel
ISBN: 9789871021338

El hombre Anumérico
En este brillante ensayo, al alcance de cualquier lector, el matemático norteamericano John AllenPaulos nos revela cómo nuestra incapacidad para aprehender la ley de los grandes números, y todas las probabilidades que conllevan, desinforman políticas de gobierno, confunden decisiones personales y aumentan nuestra vulnerabilidad ante todo tipo de seudociencias.

¿Por qué sabemos tan pocas matemáticas ? ¿Es voluntaria o no esa resistencia nuestra a comprender ese aspecto siempre más presente en nuestra vida diaria ? ¿Cuál es el coste social e individual de esta ignorancia ? Para que entendamos mejor sus argumentos sobre los grandes números y las probabilidades el autor recurre a divertidas y cotidianas anécdotas ilustrativas. Comprendemos entonces sin esfuerzo por qué nos empeñamos en jugar a la lotería o en acudir a astrólogos y adivinos, por qué suspendemos viajes por temor a atentados terroristas, no sabemos cuadrar una cuenta bancaria o pensamos que poco importa un billón de pesetas de más o de menos en los presupuestos del Estado, por qué perdemos tanto tiempo en nimiedades y cometemos tantas torpezas evitables.

Dejemos, pues, de ser anuméricos, o analfabetos en matemáticas, y veremos qué, según Douglas Hofstadter, autor de Gödel, Escher, Bach (Superínfimos/Metatemas 9), «nuestra sociedad sería totalmente distinta si cualquiera pudiera entender realmente las ideas de este importante libro (.) que podría constituir una auténtica revolución en la enseñanza de las matemáticas». Y añade el gran Isaac Asimov : «Inteligente análisis de las locuras que engendra la falta de comprensión de la ciencia y de las matemáticas».

Autor: John Allen Paulos
Editorial: Tusquets
ISBN: 8472231496

El Enigma de Fermat
En este libro, editado en 1997 y cuyo título original es Fermat Last Theorem, Simon Singh narra la apasionante aventura que a través de más de 350 años llevó a la demostración, por parte del matemático británico Andrew Wiles, del último teorema de Fermat.

Un teorema aparentemente tan inocente como éste, que simplemente afirma que la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene solución si n es mayor que 2, tuvo en jaque a las mentes más brillantes de los últimos 4 siglos. El teorema fue establecido por Fermat. En el margen del libro Aritmetica de Diofanto de Alejandría, que por entonces estudiaba, escribió: "Este margen es demasiado pequeño para la maravillosa demostración que he encontrado", y con ello dejó establecido uno de los más apasionantes retos matemáticos de toda la historia.

A partir de aquí se narra como los esfuerzos de muchos matemáticos, con sus historias personales y profesionales, van dando pasos para la demostración del teorema, pero éste sigue resistiéndose, hasta que la ilusión infantil de un chico inglés que encuentra el teorema en la biblioteca de su pueblo, le lleva a consagrar su vida a la demostración del teorema.

En el libro queda magníficamente patente que en matemáticas los grandes logros son el resultado de muchas mentes y muchos resultados, y la forma de trabajar de Andrew Wiles no es para nada habitual.

Autor: Simon Singh
Editorial: Planeta
ISBN: 9788408065722

 

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