La distribución de los números primos dentro de los números naturales parece no seguir un patrón regular. Sin embargo, el matemático alemán Bernard Riemann observó que la frecuencia de números primos está muy cerca de relacionarse con el comportamiento de una elaborada función «z(s)», llamada la función Zeta de Riemann.

La Hipótesis de Riemann dice que todas las soluciones interesantes a la ecuación z(s) = 0 se ubican dentro de una línea recta. Esto ha sido chequeado para las primeras 1.500.000.000 soluciones. Una prueba que si es cierta para cada solución interesante podría dar luz sobre muchos misterios alrededor de la distribución de los números primos.

Más información: E. Bombieri, Instituto de Estudios Avanzados, Princeton

Conjetura de Collatz

Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en 1.937.

Escogemos un número natural n. Si es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos uno. Si es par lo dividimos por dos. En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a aplicar el proceso.

Por ejemplo: 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> …

Como observaréis, en nuestro caso hemos llegado a un ciclo: 4,2,1,4,2,1,4,2,1….

La conjetura de Collatz afirma lo siguiente: Sea cual sea el número natural de partida, SIEMPRE se llega a ese ciclo.

Más información: http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

Los Siete Problemas del Milenio

Se ha dado en llamar «Los siete problemas del Milenio» a siete enunciados que han traído de cabeza a los matemáticos de los últimos años del siglo XX, y que podrían haber sido ocho si el profesor Andrew Wiles no hubiera probado la Última Conjetura de Fermat en el año 1.994

Los Siete Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachutsets (EEUU), el Instituto Clay de Matemáticas, para premiar con un millón de dólares USA a quien resuelva al menos uno de estos problemas.

En marzo de 2.002, un matemático inglés, Martin J. Dunwody, de la Universidad de Southampton, afirmaba haber resuelto completamente uno de estos problemas, concretamente el cuarto, la llamada Conjetura de Poincaré, que, aunque habia sido ya resuelta en los casos de n > 3 por algunos matemáticos, Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, se mantenía inaccesible, curiosamente, para n =3.

Más información en: http://www.maths.soton.ac.uk/~mjd/Poin.pdf

1. Problema del P (dificil de encontrar) contra el NP (fácil de verificar)

En el cálculo computacional pueden presentarse problemas en donde el número de alternativas posibles para una determinada condición de proceso es tan grande que ni siquiera con supercomputadores inexistentes aún en nuestra tecnología se podrían afrontar en toda la vida de un ser humano, pues no tendría para ello el suficiente tiempo (es el problema P). En cambio, la verificación de que una determinada alternativa verifica la condición de proceso es algo pràcticamente instantáneo (es el problema NP).

Si, por ejemplo, queremos colocar 6.000 libros en 200 estantes, de modo que se cumpla la condición de que no estén juntos ciertos libros de diferente materia, nos encontramos que el número de alternativas posibles podría superar al número de átomos de la Vía Láctea, con lo cual, el determinarlas todas (problema P – difícil de encontrar) es precisamente eso, muy difícil. En cambio, el verificar una de estas alternativas como válida (problema NP – fácil de verificar) es inmediato.

El desafío consiste en encontrar una respuesta, una ley, que permita generar todas las alternativas.

Más información: Stephen Cook, de la Universidad de Toronto

2. La conjetura de Hodge

Esta conjetura afirma que para ciertos espacios particulares denominados Variedades Proyectivas Algebráicas, las partes llamadas Ciclos de Hodge son realmente combinaciones de Ciclos Algebráicos.

Más información: P. Deligne

3. Ecuaciones de Navier-Stokes

Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbulencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente. El desafío consiste en encontrar tal fundamentación.

Más información: Charles L. Fefferman, de la Universidad de Princeton

4. La Conjetura de Poincaré (Resuelta por el Genio Ruso G. Perelman)

Para n<3, la única superficie compacta, orientable y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera Sn. Esto es, la superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones mayor que 2 puede contraerse hasta un único punto de forma continua, dicho de otro modo, la superficie de una esfera es simplemente conexa.

Más información: J. Milnor

5. La Hipótesis de Riemann

Comentada más arriba

6. La Teoría de Yang-Mills

La llamada Teoría de Yang-Mills describe las partículas elementales de la Mecánica Cuántica, y sus interacciones fuertes usando estructuras geométricas.

Estas descripciones teóricas han sido comprobadas experimentalmente en laboratorio y también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe edificada una teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas.

Más información: Arthur Jaffe y Edward Witten

7. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Aún cuando ya sabemos que no existen métodos generales para resolver las ecuaciones diofánticas tal como decía el décimo problema de Hilbert (demostrado en 1.970 por Yu. V. Matiyasevich), sin embargo, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que en el caso de las soluciones de las ecuaciones diofánticas generales, cuando éstas son los puntos de una variedad abeliana, el conjunto de los puntos que son soluciones racionales de las mismas depende de la función zeta, z(n), asociada, de modo que si z(1) = 0, hay infinitas soluciones, y si z(1) no = 0, el número de soluciones es finito.